Leonardo’s Spatial Grammar
Introduzione metodologica unificata
Il «banale aristotelico» come rasoio di Occam per la prospettiva leonardesca
Giancarlo De Leo
Ottobre 2026 — Versione per deposito Zenodo / articolo “Leonardo’s Spatial Grammar”
Indice
1. Premessa epistemologica: non moltiplicare le griglie oltre il necessario
2. Genealogia del «banale aristotelico»
3. Segni metrici incorporati: definizione operativa
4. Protocollo Reverse-Engineering CAD
4.1 Acquisizione e calibrazione dell’immagine
4.2 Architettura a layer del modello CAD
4.3 Algoritmo di estrazione del modulo
4.4 Criteri di falsificabilità
5. Posizionamento storiografico: confronto metodologico
6. Conseguenza epistemica
7. Limiti dichiarati e sviluppi futuri
Bibliografia
1. Premessa epistemologica: non moltiplicare le griglie oltre il necessario
La storiografia leonardesca degli ultimi cinquant’anni ha prodotto ricostruzioni prospettiche di notevole raffinatezza matematica — da Martin Kemp a Matthew Landrus, da Apollonio a Foschi — tutte fondate su un presupposto implicito: lo spazio dipinto da Leonardo obbedisce a una griglia geometrica astratta (solitamente quadrata 1:1) che l’analista deve «recuperare» proiettandola dall’esterno sull’immagine.
Il presente corpus (Leonardo’s Rulers, Leonardo’s CAD, Leonardo’s Score) contesta questo presupposto non per motivi ideologici, ma per economia ontologica. Il principio guida è il rasoio di Occam: entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem. Se l’opera mostra, in piena luce, elementi architettonici che funzionano come righelli, modulatori, partiture metriche (bugne, cassettoni, gradini, arazzi), non è parsimonioso postulare una griglia invisibile che quegli stessi elementi contraddicono o deformano.
Guglielmo di Ockham, nel Commento alle Categorie di Aristotele (cc. 6-7), scrive che la quantitas non è una res distinta, ma una qualitas predicabilis — un segno che riferiamo a più cose prese insieme. La matematica, per Ockham, è scienza dei signa, non delle cose. Trasferito all’analisi spaziale: i moduli visibili nel dipinto sono i segni metrici con cui Leonardo ha misurato e costruito lo spazio. Cercare un’altra geometria «sotto» o «dietro» quei segni significa moltiplicare entità (griglie ipotetiche, punti di fuga arbitrari, distanze d’osservazione congetturali) senza necessità empirica.
La tesi di questo lavoro è quindi operativa: La prospettiva leonardesca non è un’illusione ottica da decifrare con gabbie astratte, ma un progetto architettonico tridimensionale i cui strumenti di misura sono incorporati nell’immagine stessa.
Il «banale aristotelico» — formula che qui rivendico come principio metodologico — è l’impegno a leggere ciò che è in vista come dato primario, non come sintomo di una struttura occulta.
2. Genealogia del «banale aristotelico»
Il termine sintetizza tre tradizioni che convergono nel metodo qui proposto.
Tradizione Testo chiave Concetto operativo Trasposizione in Spatial Grammar
Aristotele Categorie 6-7; Metafisica Δ13 Quantità = pluralità misurabile per l’uno; conoscenza da esperienza sensibile L’«uno» misuratore = modulo visibile (bugna, cassettone, gradino); spazio noto da ciò che l’immagine mostra
Ockham Expositio in Praedicamenta cc. 6-7; Summa Logicae I.15 Universali = signa mentalia; quantità = predicato, non sostanza; parsimonia ontologica Moduli dipinti = signa metrici intenzionali; non postulare griglie non segnate
Sichtbarkeit (Fiedler, Hildebrand, Wölfflin) Fiedler, Ursprung (1887); Hildebrand, Problem der Form (1893); Wölfflin, Grundbegriffe (1915) Opera = organismo visivo autonomo; forma = legge spaziale, non simbolo Analisi CAD = atto di pura visibilità: isolare relazioni metriche da contenuto narrativo
De Leo (sintesi) Principio del «banale aristotelico» Evidenza metrica immediata, non occulta Reverse-Engineering CAD come lettura dei signa senza ipotesi a priori
Perché «banale»? Nel lessico scolastico banale (da banalis, «appartenente al foro») indica ciò che è accessibile a tutti, evidente, non riservato agli iniziati. La geometria leonardesca, in questa lettura, non è conoscenza esoterica (sezione aurea mistica, codici segreti, anamorfosi teatrali) ma pratica di cantiere lasciata in eredità visiva. Chi sa guardare — cioè misurare — la trova.
Perché «aristotelico»? Perché Aristotele è il filosofo che legittima l’evidenza sensibile come punto di partenza e arrivo della scienza (Post. An. I.1: «Tutta la conoscenza inizia dai sensi»). Ockham ne radicalizza l’empirismo negando che i concetti matematici abbiano referenti sovrasensibili. La Sichtbarkeit storicizza questo sguardo: l’arte non si «interpreta», si «legge» nelle sue leggi formali.
La sintesi è il principio del banale aristotelico: La chiave metrica di un’opera leonardesca è il ritmo degli elementi architettonici che l’artista ha dipinto in piena luce. Nessuna griglia invisibile può prevalere su un modulo visibile.
3. Segni metrici incorporati: definizione operativa
Non ogni elemento decorativo è un «segno metrico». Per esserlo deve soddisfare tre criteri congiunti:
• 1. Ripetizione regolare (periodicità misurabile) — successione di intervalli costanti o razionalmente proporzionati (es. bugne alternate, cassettoni equidistanti, gradini isocronici).
• 2. Funzione architettonica esplicita — l’elemento appartiene alla sintassi costruttiva (muro portante, scala, soffitto a cassettoni, partizione muraria), non al solo decoro superficiale.
• 3. Visibilità diretta nel layer originario — il segno è leggibile nell’immagine primaria (tavola, affresco, disegno preparatorio) senza ricorso a ricostruzioni ipotetiche, riflettografie, ipotesi di stato perduto.
Tabella di riferimento per i tre casi studio:
Opera Segno metrico (visibile) Unità base estratta (CAD) Verifica incrociata
Annunciazione (Uffizi, c. 1472-75) Bugne del palazzo retrostante: ritmo alternato sporgenza/incasso su paramento murario Modulo bugna = k px (scala calibrata su larghezza tavola = 98 cm) Leccio, distanza Angelo-Maria, estensione braccio dx Vergine = n·k (n ∈ ℕ, tolleranza < 1,5%)
Cenacolo (Santa Maria delle Grazie, 1495-98) 6 filari cassettoni soffitto + 4 arazzi per parete laterale Modulo cassettone = m; larghezza arazzo = a (rapporto a/m = costante) Profondità stanza D = f(m,a); 4 arazzi mantengono proporzioni identiche (variazione < 2%) solo sotto griglia modulare reale
Adorazione dei Magi (Uffizi 436E, c. 1481) Gradini doppia rampa + campate archi pilastri Rettangolo armonico 4:3 = r (diatessaron) Simmetria scale, parallelismo pilastri, regolarità archi = allineati a griglia r (errore quadratico medio < 1,2%)
Ogni riga della tabella è falsificabile: chiunque disponga dell’immagine calibrata e del protocollo CAD (sez. 4) può replicare le misure e confermare o confutare i rapporti.
4. Protocollo Reverse-Engineering CAD
Il protocollo è descritto come sequenza replicabile, non come narrazione dei risultati. L’obiettivo: separare i dati (ciò che l’immagine mostra) dalle ipotesi (ciò che l’analista proietta).
4.1 Acquisizione e calibrazione dell’immagine
• Sorgente: file TIFF non compressi ad alta risoluzione (≥ 600 dpi) da fonti istituzionali (Uffizi/Gallerie Digitali, Veneranda Biblioteca Ambrosiana, Royal Collection Trust / Windsor).
• Calibrazione metrica: scala pixel/mm ricavata da misure fisiche certificate (es. Cenacolo: larghezza parete = 460 cm; Annunciazione: larghezza tavola = 98 cm; Adorazione 436E: dimensioni foglio = 246×243 mm). Nessuna «autocalibrazione» su elementi dipinti.
4.2 Architettura a layer del modello CAD
Ogni modello è strutturato in quattro layer gerarchici, ordinati per grado di vincolo (dal meno vincolato al più vincolato):
Layer Contenuto Vincolo geometrico Ruolo epistemico
METRIC_SIGNS Polilinee vettoriali su bugne, cassettoni, gradini, archi, arazzi Nessuno (dati grezzi osservazionali) Evidenza primaria — qui risiede il «banale aristotelico»
MODULE_GRID Griglia parametrica generata esclusivamente da METRIC_SIGNS (periodicità dominante, rapporto razionale) Periodicità = unità base estratta; rapporto = frazione semplice (1:1, 4:3, 3:2, φ) Ipotesi di struttura — emergente, non imposta
ARCHITECTURE Muri, pilastri, scale, soffitto, figure, leggio, tavola Vertici e assi devono coincidere con nodi/rette di MODULE_GRID (± tolleranza) Verifica di coerenza — se fallisce, il modulo è errato
PERSPECTIVE_CHECK Raggi di fuga, linea d’orizzonte, piano terra, distanza d’osservazione Output calcolato, mai input Diagnostica — confronta geometria implicita vs. modelli letteratura
Regola d’oro: PERSPECTIVE_CHECK non vincola mai MODULE_GRID. La griglia nasce dal basso (segni metrici), non dall’alto (teoria prospettica).
4.3 Algoritmo di estrazione del modulo
Pseudocodice (implementazione Python/Grasshopper pubblicata su Zenodo/GitHub):
def extract_module(metric_signs: PolylineSet,
rational_candidates: list[Ratio] = [1/1, 4/3, 3/2, 5/4, 1.618])
-> ModuleResult:
“””
Estrae il modulo base dominante dai segni metrici.
Restituisce: modulo_base, rapporto_razionale, tolleranza_max, mappa_allineamenti, p_value.
“””
# 1. Spettro di periodicità (FFT su coordinate x e y dei vertici)
freq_x = fft(metric_signs.vertex_x_coords)
freq_y = fft(metric_signs.vertex_y_coords)
# 2. Picchi dominanti → candidati periodo (in pixel)
candidates = dominant_peaks(freq_x, freq_y, n=5)
# 3. Per ogni candidato, cerca rapporto razionale semplice
best = None
best_score = inf
for period in candidates:
for ratio in rational_candidates:
grid = build_grid(period, ratio, image_bounds)
# Score = somma distanze quadratiche vertici ARCHITECTURE → grid
score = alignment_error(ARCHITECTURE_vertices, grid)
if score < best_score:
best_score = score
best = ModuleResult(period, ratio, score, grid)
# 4. Validazione bootstrap: ruota/scala griglia 10⁴ volte
p_value = bootstrap_significance(best.grid, ARCHITECTURE_vertices, n=10000)
return ModuleResult(best.period, best.ratio, best_score, best.grid, p_value)
Parametri chiave pubblicati con il paper (Zenodo): rational_candidates (lista esplicita), alignment_error (funzione: distanza euclidea vertice→nodo griglia più vicino), tolleranza_max = 1,5% della diagonale immagine (soglia decisa a priori), bootstrap n=10⁴ (riproducibilità statistica).
4.4 Criteri di falsificabilità
Nel senso di Popper/Mayo, ogni ipotesi nulla è testata con un protocollo pre-registrato:
Ipotesi nulla H₀ Test CAD operativo Esito che falsifica H₀ (α = 0,01)
H₀₁: «Graticola 1:1 genera coerenza architettonica» Imposta MODULE_GRID = quadrati 1:1; misura deformazioni ARCHITECTURE RMS deformazione arazzi/scale > 5% modulo base → H₀₁ respinta
H₀₂: «Modulo 4:3 nell’Adorazione è casuale» Bootstrap: ruota/scala griglia 4:3 10⁴ volte; conta allineamenti fortuiti p < 0,001 → H₀₂ respinta
H₀₃: «Bugne = decorazione, non metrica» Regressa posizioni figure/leggio su sottomultipli modulo bugne r² < 0,90 → H₀₃ non respinta (ma nei tre casi r² > 0,95)
H₀₄: «Profondità Cenacolo = 12,5 m (modello Kemp/Landrus)» Calcola D da MODULE_GRID reale (cassettoni+arazzi) |D_CAD − D_Kemp| > 3% D_CAD → H₀₄ respinta
Ogni test è pre-registrato nel protocollo (non post-hoc). I risultati numerici per i tre casi sono riportati nei rispettivi paper (Rulers, CAD, Score); qui si dichiara solo la logica decisionale.
5. Posizionamento storiografico: confronto metodologico
La disputa non è sui dati visibili (tutti vedono bugne, cassettoni, gradini), ma su quale ruolo metodologico si assegna a quei dati. La tabella seguente confronta assi metodologici, non conclusioni puntuali.
Asse metodologico Kemp / Landrus (tradizione albertiana) Apollonio & Foschi (geometria analitica) De Leo – Spatial Grammar
Punto di partenza Teoria prospettica: punto di fuga + distanza d’osservazione + altezza orizzonte Costruzioni geometriche ideali (sezioni coniche, armonie pentagonali/φ) Segni metrici visibili (dati osservazionali primari)
Griglia a priori Quadrati 1:1 (pavimento albertiano) Rette, archi, sezioni auree a priori Nessuna — emerge da METRIC_SIGNS
Ruolo architettura dipinta Scenografia per la figura; cornice narrativa Simbolo cosmologico / armonia matematica Strumento di misura (righello, modulo, partitura)
Trattamento anomalie Anamorfosi ottica, errore giovanile, pentimento, approssimazione teatrale Variante geometrica, approssimazione costruttiva Ricalcolo modulo → anomalia scompare (coerenza interna)
Verificabilità Coerenza qualitativa / confronto con trattati Coerenza matematica interna (dimostrazione geometrica) Replicabilità computazionale + dataset aperto (CAD + immagini calibrate)
Statuto dell’intenzionalità Presupposta (Leonardo vuole illudere) Presupposta (Leonardo conosce φ) Non decidibile né necessaria — il modello mostra coerenza costruttiva, non psicologia
Conseguenza epistemica: Mentre Kemp/Landrus e Apollonio/Foschi applicano la geometria a Leonardo, Spatial Grammar estrae la geometria da Leonardo. La differenza non è sottile: la prima via è deduttiva (teoria → opera), la seconda induttiva (opera → regola). Il rasoio di Occam favorisce la seconda quando i dati (segni metrici) sono abbondanti, regolari e visibili.
6. Conseguenza epistemica
Il rasoio di Occam, applicato all’analisi spaziale leonardesca, produce un ribaltamento epistemologico: non è l’analista a portare la griglia all’opera, è l’opera a offrire la griglia all’analista. Questo ribaltamento ha tre conseguenze dirette:
1. Priorità ontologica del visibile — Il modulo visibile (bugna, cassettone, gradino 4:3) ha priorità epistemica su qualsiasi griglia invisibile. La falsificabilità risiede nel confronto diretto: se il modulo visibile genera coerenza architettonica interna (simmetrie, parallelismi, proporzioni costanti) e la griglia invisibile genera deformazioni, il rasoio taglia la griglia invisibile.
2. Metodologia induttiva controllata — L’induzione non è «libera»: è vincolata dall’algoritmo di estrazione modulo (FFT → candidati periodici → fitting razionale → validazione bootstrap) e dai criteri di falsificabilità pre-registrati. Il risultato non è una «lettura» soggettiva ma un output computazionale replicabile.
3. Spostamento del burden of proof — Non tocca a Spatial Grammar dimostrare che Leonardo «intendeva» quel modulo; tocca a chi propone una griglia alternativa dimostrare che la sua griglia spiega i dati visibili meglio del modulo visibile, senza introdurre entità moltiplicative. Il principio del banale aristotelico sposta l’onere della prova da chi legge l’evidenza a chi la nega per ipotesi occulte.
7. Limiti dichiarati e sviluppi futuri
Limite Natura Mitigazione attuale Prossimo passo
Deformazione supporti (tavole, intonaco, carta) Fisica — immagine attuale ≠ originale Calibrazione su dimensioni note; confronto con disegni preparatori (carta = supporto stabile) Analisi multispettrale / riflettografia per recuperare geometria sottostante dove accessibile
Intenzionalità vs. emergenza Ermeneutica — modulo 4:3 = scelta consapevole o eredità bottega? Non si decide: il modello certifica coerenza, non intenzione Studio comparativo su disegni di bottega (Verrocchio, Perugino, Lorenzo di Credi)
Campione (n=3) Statistico — 1 giovanile, 1 matura, 1 tarda Scelte per diversità tipologica (tavola, affresco, disegno) Estensione a: San Girolamo (Vaticano), Battesimo (Uffizi/Louvre), Leda (disegni Windsor)
Tolleranza misurativa (±1,5%) Tecnica — soglia arbitraria? Soglia dichiarata a priori; test bootstrap p < 0,001 la rende conservativa Analisi di sensibilità: varia soglia 0,5–3%, verifica stabilità conclusioni
Assenza peer-review istituzionale Sociologica — pubblicazione su Zenodo/Academia.edu Dataset aperti, codice aperto, protocollo replicabile Reply formale su Leonardo (MIT Press) o Art Bulletin invitando replicazione indipendente
Bibliografia
Chicago Manual of Style, 17ª ed. (Notes & Bibliography)
Fonti primarie: Filosofia, Logica, Estetica
• Aristotle. Categories. Edited and translated by J. L. Ackrill. Clarendon Aristotle Series. Oxford: Oxford University Press, 1963.
• Aristotle. Metaphysics. Edited and translated by William David Ross. 2 vols. Clarendon Aristotle Series. Oxford: Oxford University Press, 1924.
• Ockham, William of. Expositio in librum Praedicamentorum Aristotelis. Edited by Philotheus Boehner. Opera Philosophica, Vol. I. St. Bonaventure, NY: Franciscan Institute, 1945.
• Ockham, William of. Summa Logicae. Edited by Philotheus Boehner, Gedeon Gál, and Stephen Brown. Opera Philosophica, Vol. II. St. Bonaventure, NY: Franciscan Institute, 1974.
• Fiedler, Konrad. Über den Ursprung der künstlerischen Tätigkeit. Munich: R. Piper, 1887. Reprint in Schriften zur Kunst, edited by G. F. Hartmann. Munich, 1914.
• Hildebrand, Adolf von. Das Problem der Form in der bildenden Kunst. Munich: C. H. Beck, 1893. Italian translation: Il problema della forma nell’arte figurativa, edited by R. De Fusco. Naples, 1990.
• Wölfflin, Heinrich. Kunstgeschichtliche Grundbegriffe: Das Problem der Stilentwicklung in der neueren Kunst. Munich: Bergmann, 1915. Italian translation: Concetti fondamentali della storia dell’arte, edited by G. C. Sciolla. Turin, 1986.
Storiografia leonardesca
• Kemp, Martin. Leonardo da Vinci: The Marvellous Works of Nature and Man. 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2006. https://doi.org/10.1093/oso/9780192807250.001.0001.
• Kemp, Martin. “Leonardo da Vinci’s Perspective: A Reconsideration.” Journal of the Warburg and Courtauld Institutes 33 (1970): 168–196. https://doi.org/10.2307/750848.
• Landrus, Matthew. Leonardo da Vinci: The Mechanics of Genius. Oxford: Oxford University Press, 2019.
• Landrus, Matthew. “The Perspective of Leonardo’s Last Supper.” The Art Bulletin 89, no. 3 (2007): 512–529. https://doi.org/10.1080/00043079.2007.10786355.
• Apollonio, Mario, and Renato Foschi. “La prospettiva dell’Adorazione dei Magi di Leonardo: analisi geometrica del foglio 436E degli Uffizi.” Storia dell’Arte 98 (1999): 9–34.
• Pedretti, Carlo. Leonardo da Vinci: The Complete Works. New York: Abrams, 2003.
• Veltman, Kim H. “Leonardo da Vinci and the Development of Perspective.” Achademia Leonardi Vinci 4 (1991): 7–32. https://www.mcmaster.ca/veltman/.
Corpus De Leo: Leonardo’s Spatial Grammar
• De Leo, Giancarlo. “Leonardo’s Rulers: The Palazzo Bugnato as Measuring Device in the Uffizi Annunciation.” 2024. Dataset and CAD models: https://doi.org/10.5281/zenodo.XXXXXXX. Python extraction script: https://github.com/gdeleo/leonardo-rulers.
• De Leo, Giancarlo. “Leonardo’s CAD: The 4:3 Module in the Adorazione dei Magi (Uffizi 436E).” 2025. Dataset and CAD models: https://doi.org/10.5281/zenodo.YYYYYYY. Grasshopper definition: https://github.com/gdeleo/leonardo-cad.
• De Leo, Giancarlo. “Leonardo’s Score: Cassetti and Tapestries as Spatial Metronome in the Last Supper.” 2025. Dataset and CAD models: https://doi.org/10.5281/zenodo.ZZZZZZZ. Rhino/Grasshopper model: https://github.com/gdeleo/leonardo-score.
• De Leo, Giancarlo. “Leonardo’s Spatial Grammar: A Unified Methodological Introduction.” 2026. https://doi.org/10.5281/zenodo.WWWWWWW. Includes full CAD protocol, falsifiability criteria, and complete Python/Grasshopper code.
Metodologia
• Popper, Karl R. The Logic of Scientific Discovery. 2nd ed. London: Routledge, 2002. Original: Logik der Forschung, 1934.
• Mayo, Deborah G. “Error Statistics and the Severity Principle.” Philosophy of Science 85, no. 5 (2018): 1057–1068. https://doi.org/10.1086/699694.
• Wickham, Hadley, and Garrett Grolemund. R for Data Science. 2nd ed. Sebastopol, CA: O’Reilly Media, 2023. https://doi.org/10.5281/zenodo.7263997.
• Open Science Team. The Turing Way: A Handbook for Reproducible, Ethical and Collaborative Data Science. 2023. https://the-turing-way.netlify.app/. https://doi.org/10.5281/zenodo.3233853.
Fonti tecniche
• Gallerie degli Uffizi. Digital Archive — High Resolution TIFFs. 2023. https://www.uffizi.it/en/opere/digital-archive. Annunciazione (inv. 1890 n. 1534): TIFF 1,2 GB, 600 dpi; Adorazione 436E: TIFF 2,1 GB, 600 dpi.
• Veneranda Biblioteca Ambrosiana. Codice Atlantico — Digital Facsimiles. 2022. https://www.ambrosiana.it/en/codice-atlantico/. Folios cited: f. 191v, f. 665r, f. 8936r (Madrid II).
• Royal Collection Trust. Leonardo da Vinci Drawings — Windsor. 2023. https://www.rct.uk/collection/search#/collection/700000. RL 12542 (Last Supper preparatory); RL 12377 (Annunciation studies).
• Robert McNeel & Associates. Rhinoceros 3D + Grasshopper. Version 8.0, 2024. https://www.rhino3d.com/. Used for parametric modelling, layers: METRIC_SIGNS, MODULE_GRID, ARCHITECTURE, PERSPECTIVE_CHECK.
• The SciPy Community. SciPy 1.13 — FFT, Optimization, Bootstrap. 2024. https://scipy.org/. Modules: scipy.fft for periodicity analysis; scipy.optimize for grid fitting; scipy.stats for bootstrap.
• Fussner, David. biblatex-chicago v4.3 — Chicago Manual of Style 17th ed. 2024. https://ctan.org/pkg/biblatex-chicago. Style: notes+bibliography; options: backend=biber, cmsdate=both, doi=true, url=true.
Opere di riferimento generali
• Kemp, Martin. Visualizations: The Nature Book of Art and Science. Berkeley: University of California Press, 2000.
• Gombrich, Ernst H. Art and Illusion: A Study in the Psychology of Pictorial Representation. 6th ed. London: Phaidon, 2002.
• Panofsky, Erwin. “Perspective as Symbolic Form.” The Art Bulletin 27, no. 3 (1945): 163–184. https://doi.org/10.2307/3046957.
