Leonardo’s CAD – La Geometria Svelata (it/en)

Sinossi: Leonardo’s CAD – La Geometria Svelata

Oltre il Quadrato: La griglia 4:3 e la precisione architettonica nell’Adorazione dei Magi

Il saggio propone un ribaltamento metodologico nell’analisi del disegno preparatorio per l’Adorazione dei Magi di Leonardo da Vinci. Superando la tesi tradizionale di una maglia prospettica a base quadrata, l’autore dimostra, attraverso l’uso di software CAD e tecniche di retro-ingegneria, come Leonardo abbia adottato una griglia di rettangoli in rapporto armonico 4:3. Questa scoperta non solo risolve storiche incongruenze visive — restituendo alle arcate delle scale la loro perfetta forma a tutto sesto coerente con la misura del “braccio fiorentino” — ma svela un’applicazione consapevole di geometrie legate al pentagono e alla sezione aurea. Il lavoro rivendica l’assoluto rigore logico e matematico di Leonardo, trasformando quello che era ritenuto un errore prospettico in una sofisticata architettura della visione.

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Negli ultimi decenni l’Adorazione dei Magi di Leonardo da Vinci e il noto disegno preparatorio conservato agli Uffizi sono stati oggetto di analisi prospettiche e di ricostruzioni digitali sempre più sofisticate, che hanno contribuito a chiarire la struttura spaziale del complesso architettonico sullo sfondo.[1][2] In molti di questi studi, il reticolo tracciato da Leonardo sul pavimento è stato interpretato come una griglia regolare di quadrati, proiettata secondo le regole della prospettiva centrale albertiana e assunta come base per la modellazione tridimensionale delle rovine e delle scale.[1]

Il presente lavoro si inserisce in questo filone di ricerche, ma propone una diversa ipotesi interpretativa della griglia soggiacente al foglio degli Uffizi.

Attraverso un’analisi geometrica degli elementi bidimensionali paralleli al piano di proiezione del disegno e mediante una successiva verifica tramite ricostruzione prospettica delle architetture 3D in CAD, sovrapposta al foglio, si sostiene che la griglia spaziale adottata da Leonardo non sia una scacchiera di quadrati, bensì una maglia di rettangoli modulata sul braccio fiorentino, con rapporto armonico 4:3 tra lato lungo (trasversale rispetto al punto di vista) e lato corto (longitudinale allo stesso).[4][5][6]

L’interpretazione del reticolato leonardiano come una griglia di quadrati, quando proiettata inversamente in uno spazio tridimensionale CAD, produce infatti una restituzione visibilmente deformata delle arcate tra le scale.

Tale deformazione appare, a nostro avviso, incompatibile con la visione matematica, artistica e architettonica di Leonardo, allora ancora giovane e certamente influenzato dall’ambiente fiorentino della seconda metà del Quattrocento — un contesto dominato dall’eredità di Brunelleschi e delle sue architetture (San Lorenzo, Santo Spirito), caratterizzate da esemplari arcate a tutto sesto, e soprattutto dagli insegnamenti di Leon Battista Alberti nei suoi trattati sulla pittura e sull’architettura.[2][3]

Il braccio fiorentino come unità di misura principale, e il rapporto 4:3 (“α”)

Assumendo come unità di misura il braccio fiorentino, pari a 58,36 cm e in uso a Firenze alla fine del Quattrocento, ogni modulo della griglia risulta misurare 58,36 × 43,77 cm, con le linee di fuga longitudinali distanziate di un braccio e quelle trasversali di tre quarti di braccio.[7][8][9] La scelta “a priori” del braccio fiorentino come unità della griglia prospettica è sostenuta da ragioni storiche e dalla congruenza dimensionale degli elementi architettonici, delle figure umane e degli animali rappresentati nel disegno. Si tratta comunque di una scelta preliminare: in assenza di indicazioni esplicite di Leonardo per questo foglio, essa consente di individuare la scala assoluta delle architetture senza tuttavia alterare i rapporti proporzionali tra gli elementi.[7][6]

La determinazione del rapporto armonico 4:3 tra i lati dei rettangoli che compongono la griglia prospettica (ipotesi “α”) è invece il risultato di una verifica “a posteriori”, ottenuta confrontando le restituzioni inverse degli spazi 3D costruite ipotizzando, oltre alla maglia 4:3 (ipotesi “α”), anche i rapporti 1:1 (maglia 1:1, a quadrati, ipotesi “ϰ”), 3:2 (ipotesi “β”), 1:φ – (sezione aurea, ipotesi “φ”) e 2:1 (ipotesi “δ”) e tra lato corto e lato lungo dei moduli della griglia.[2] Come si mostrerà in seguito, fissati come vincoli — grazie al disegno stesso — l’altezza del colmo delle arcate (pari a quella del quindicesimo gradino delle scale) e l’altezza delle loro imposte (situata poco sopra la metà dell’undicesimo gradino), solo la griglia “α” 4:3 genera arcate a tutto sesto geometricamente corrette e prive di deformazioni evidenti. La griglia a quadrati tende infatti a dilatare le arcate, mentre le maglie “β” (3:2), “φ”(1:φ) e “δ” (2:1) le comprimono progressivamente, risultando meno compatibili con il disegno degli Uffizi quando le ricostruzioni 3D vengono riportate in prospettiva e sovrapposte al foglio.

Primo indizio: la curvatura delle arcate (ricavando il colmo e l’imposta dal disegno e considerandole fissate)

La curvatura delle arcate, che possiamo ritenere con buona certezza concepite da Leonardo come archi a tutto sesto, rappresenta l’unico elemento realmente discriminante ed efficace per identificare con precisione la tipologia della maglia geometrica che sostiene l’intera costruzione. È infatti questa curvatura a rendere evidente il rapporto tra la luce dell’arco — determinata dal modulo “corto” della griglia — e la freccia, costante misurabile direttamente sul disegno come grandezza proporzionale all’altezza complessiva delle scale, a sua volta legata al modulo “lungo” attraverso un rapporto di natura trigonometrica.

Tutti gli altri elementi di forma prismatica (gradini, murature, pilastri) risulterebbero infatti comunque geometricamente “corretti” e coerenti anche variando liberamente il rapporto tra il lato lungo (trasversale) e il lato corto (longitudinale) dei rettangoli che compongono la griglia.

Secondo indizio: le diverse quote dell’imposta delle arcate, considerandole sempre a sesto intero

La correttezza del rapporto 4:3 può essere verificata anche attraverso un procedimento inverso rispetto a quello appena descritto. Mantenendo come vincolo geometrico l’altezza del colmo delle arcate  fissata dal disegno — come nel caso precedente — ma imponendo questa volta archi a tutto sesto per ciascuna tipologia di rapporto proporzionale tra il lato lungo (un braccio fiorentino) e il lato corto dei rettangoli della maglia, si ottengono inevitabilmente diverse quote di imposta delle arcate, pari all’altezza del colmo cui va sottratto il raggio di curvatura.

Tra tutte queste possibili quote, l’unica che corrisponde a quella rilevabile nel disegno di Leonardo —  interpolando le misure delle due scale, approssimativamente a metà dell’undicesimo gradino — è nuovamente quella corrispondente al rapporto 4:3.

Terzo indizio: l’attacco a terra del pilastro adiacente alle scale in primo piano

Un ulteriore indizio a favore della maglia rettangolare 4:3 proviene dal pilastro addossato alla scala in primo piano. Poiché esso sostiene una volta a crociera a base quadrata, è altamente probabile che la sezione del pilastro sia quadrata. Nel disegno, tuttavia, la profondità del pilastro coincide con un modulo della griglia, mentre la larghezza è sensibilmente minore, pari a circa tre quarti di modulo: il lato del pilastro corrisponde dunque al lato corto dei rettangoli modulari. Se la griglia fosse costituita da quadrati, un pilastro a sezione quadrata dovrebbe occupare in pianta un modulo 1×1, facendo coincidere larghezza e profondità con il modulo stesso; la discrepanza osservata risulta quindi compatibile con una maglia 4:3 e difficilmente conciliabile con una maglia di quadrati.

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### Il triangolo generatore della scala

Su questa griglia, impostata da Leonardo sul piano del pavimento sul quale poggiano le scale (piano xy del CAD), si innesta perpendicolarmente il triangolo rettangolo generatore della scala più vicina. Esso giace su un piano (piano xz del CAD) parallelo al piano di proiezione e quindi non è soggetto a deformazione prospettica, risultando così facilmente misurabile secondo le regole della geometria piana.[10]

Per la scala in primo piano, il disegno consente di individuare due possibili triangoli rettangoli generatori, simili ma distinti, con l’angolo alla base in comune:

– **ipotesi “A”**: scala visibile di 15 gradini, con cateto maggiore pari a 7 moduli‑braccio; 
– **ipotesi “B”**: scala “completa” di 16 gradini, con cateto maggiore di 7,5 moduli‑braccio.

Dall’analisi grafica della riproduzione ad alta risoluzione del foglio Uffizi, entrambe le ipotesi risultano inizialmente ammissibili, a causa della larghezza dei tratti del disegno, che introduce un inevitabile margine di approssimazione e di interpretazione rispetto alle misure “ideali” restituite in CAD.

L’angolo acuto in comune alla base dei triangoli disegnati da Leonardo misura effettivamente circa 36°, fatte salve le inevitabili approssimazioni dovute allo spessore delle linee. Questo valore non è casuale: l’angolo di 36° è uno degli angoli fondamentali della geometria della sezione aurea, caratteristico dei triangoli aurei e del pentagono regolare, in cui il rapporto tra i lati uguali e la base è proprio la sezione aurea.[11][12][13][14][15] La scala risulta quindi costruita mediante una semplice costruzione geometrica a riga e compasso: fissata la base, un angolo di 36° determina un triangolo rettangolo nel quale il rapporto tra lo sviluppo obliquo (ipotenusa) e la proiezione orizzontale (cateto maggiore) è di tipo aureo.[13][16]

Tale costruzione, derivata dalla geometria pentagonale, è pienamente coerente con i principi che saranno formalizzati da Luca Pacioli nella Divina Proportione (1509) e con la pratica grafica di Leonardo, come testimoniano i suoi studi su pentagono, dodecaedro e solidi regolari nei codici e nei fogli di geometria dei suoi codici.[17][18][19]

In sintesi:

– l’uso del triangolo con angolo di 36° non ha bisogno di essere dimostrato: si legge direttamente dal disegno degli Uffizi, misurando l’angolo in comune dei triangoli generatori della scala riportata a squadro, ed è storicamente supportato dagli studi geometrici di Leonardo; 
– la vera “dimostrazione” riguarda invece la maglia “α” (4:3), che si ottiene “a posteriori” per esclusione, confrontando tra loro le ricostruzioni 3D ottenute con le diverse griglie, restituite in prospettiva centrale, e verificando quali producano archi congruenti con il foglio degli Uffizi.[2]

### Misurazione della scala, ipotesi scala “A”, combinazione scala – maglia “Aα” (15 gradini, maglia 4:3)

Nell’ipotesi scala “A” si assume che la base orizzontale della scala visibile (15 gradini) corrisponda a sette moduli, per una lunghezza complessiva di circa 408,52 cm. L’altezza calcolata del piano di appoggio del quindicesimo gradino della rampa, corrispondente alla lunghezza del lato corto del triangolo, è di circa 296,81 cm, suddivisa in quindici alzate di 19,79 cm e quindici pedate di 27,23 cm.

Nel disegno preparatorio il triangolo generatore è chiaramente leggibile non solo nella rampa in primo piano, ma anche nella scala simmetrica sullo sfondo, che riprende la stessa costruzione geometrica all’interno del medesimo reticolo modulare.

La larghezza della scala è pari a quattro lati corti dei rettangoli della griglia e, nella maglia “α”, a 4 × 3/4 di braccio fiorentino, ovvero 3 braccia, pari a 175,08 cm. La proiezione a terra della scala nella combinazione “Aα” è quindi un rettangolo di 7 × 3 bracci fiorentini (408,52 × 175,08 cm), con rapporto 7:3.

### Misurazione della scala, ipotesi scala “B”, combinazione maglia – griglia “Bα” (16 gradini, maglia 4:3)

Nell’ipotesi scala “B” si assume che la base orizzontale della scala completa (16 gradini) corrisponda a sette moduli e mezzo, per una lunghezza complessiva di circa 437,70 cm. L’altezza calcolata del piano di appoggio del sedicesimo gradino, corrispondente alla lunghezza del lato corto del triangolo, è di circa 318,01 cm, suddivisa in sedici alzate di 19,88 cm e sedici pedate di 27,36 cm.

La larghezza della scala, come nell’ipotesi “A”, è pari a 3 braccia (175,08 cm). La proiezione a terra della scala nella combinazione “Bα” è quindi un rettangolo di 7,5 × 3 bracci fiorentini (437,70 × 175,08 cm), con rapporto 5:2.

Le ulteriori combinazioni con le altre ipotesi di modulo “ϰ” (maglia quadrata, 1:1) “β” (3:2), “φ” (1:φ – sezione aurea), “δ” (2:1) e la tabella delle corrispondenti dimensioni di pedata, alzata, larghezza e altezza complessiva consentono di valutare sistematicamente la coerenza geometrico‑prospettica delle diverse griglie, mostrando come la soluzione 4:3 sia quella che meglio si accorda con il disegno di Leonardo senza introdurre deformazioni percettibili nelle arcate.

### Arcate, pilastri e rapporto pieni/vuoti

Costruzione CAD: rapporto “Aα” (15 gradini, maglia 4:3)

Le arcate, viste in prospetto, sono costruite come semicerchi di raggio 87,54 cm (2 × 3/4 di braccio) sovrapposti a rettangoli con il lato corto (orizzontale) di 175,08 cm (4 × 3/4 di braccio); il diametro del semicerchio coincide con il lato corto del rettangolo. I pilastri tra un’arcata e l’altra hanno larghezza pari a un modulo (43,77 cm) e altezza all’imposta desunta direttamente dal disegno; tale misura, determinante ai fini della corretta individuazione del rapporto 4:3, si ricava direttamente  riportando col compasso, con rotazione oraria di 90°, l’altezza dell’imposta dell’arcata in primo piano sulla corrispondente linea orizzontale del reticolo.

Fissate come vincoli geometrici due misure desunte dal disegno—l’altezza massima delle arcate (pari all’altezza del quindicesimo gradino: 296,81 cm nel caso “A”) e quella dell’imposta dell’arco (poco sopra la metà dell’undicesimo gradino)—si verifica che ogni altra ipotesi di rapporto proporzionale tra i lati della griglia non produce arcate a tutto sesto: con la maglia di quadrati la luce dell’arcata risulta maggiore dell’altezza dell’imposta e se ne ottiene un arco ribassato; con le maglie 3:2, 1:φ e 2:1 si ottengono invece archi progressivamente rialzati e compressi, in disaccordo con il disegno di Leonardo quando le ricostruzioni CAD sono riportate in prospettiva.

Proporzione ritmica 1:4

Il ritmo 1:4 tra pieni e vuoti è tra quelli suggeriti da Leon Battista Alberti per le proporzioni delle arcate nel suo trattato. Di  Alberti,  Leonardo sembra aver accolto anche l’invito ad utilizzare i pilastri per sostenere gli archi anziché le colonne, più  adatte al supporto delle travi.

Tra le due scale si articola la sequenza: pilastro (1 modulo) – arcata (4 moduli) ripetuta tre volte e conclusa da un pilastro, per un totale di 16 moduli = 12 braccia; localmente il rapporto pieni/vuoti è dunque 1:4. Le due scale e le tre arcate presentano la stessa larghezza di quattro moduli trasversali; nella successione in profondità, a partire dal primo piano, si susseguono: arcata in rovina, pilastro, scala, pilastro, arcata, pilastro, arcata, pilastro, arcata, pilastro, scala, pilastro, ecc., mantenendo il ritmo 1:4 anche quando le scale si inseriscono nel sistema delle arcate.

Sulla base di queste considerazioni ritmiche, è probabile che Leonardo, dopo aver impostato la sua unità di misura principale con il braccio fiorentino abbia scelto il rapporto 4:3 proprio per comodità e controllo del disegno prospettico, visto che il modulo principale misurabile “a terra” sulle linee orizzontali della maglia si riporta direttamente in alzato con una semplice rotazione di 90 gradi; e le 4 partizioni in profondità di ogni singola arcata (corrispondenti, con la scelta del rapporto 4:3 a 3 braccia fiorentine) permettono di individuare con precisione la verticale del colmo, situata ovviamente a metà dei 4 moduli)

*(Nota interpretativa: questa considerazione non incide sulla ricostruzione metrica, ma può risultare utile nell’interpretazione iconografica del disegno e del dipinto: rispetto alle arcate “antiche” del portico in rovina, dal ritmo definito 4:1, le scale “moderne”, intatte e definite geometricamente, che si innestano nell’architettura seguendo lo stesso ritmo senza alterare la sequenza, sembrano alludere a strutture di cantiere al servizio della ricostruzione del tempio, coerentemente con lo spirito umanistico dell’epoca, che mirava a recuperare l’eredità classica per metterla al servizio della Chiesa.)[20][21][22]*

Determinazione del punto di vista

Le linee di fuga del disegno convergono verso un unico punto, situato sulla linea di orizzonte, che con buona approssimazione si colloca all’altezza dell’undicesimo gradino di entrambe le scale.

� La perpendicolare condotta dal punto di fuga giace, sul foglio, sulla linea mediana della terza colonna di rettangoli modulari, contata a partire dal limite a terra del primo gradino e procedendo verso destra.

�In termini CAD, con il piano xy parallelo al pavimento e il piano xz parallelo alle sezioni delle scale, si pone l’origine [(0,0,0)] nell’attacco a terra dello spigolo più vicino della scala in primo piano.

� Il punto di fuga e il punto di vista giacciono dunque sulla retta parallela all’asse y passante rispettivamente per il punto [(58{,}36 \times 2{,}5,\;0,\;19{,}79 \times 11)] nell’ipotesi A e per il punto [(58{,}36 \times 2{,}5,\;0,\;19{,}88 \times 11)] nell’ipotesi B.�

### Verifica per esclusione delle griglie e coerenza complessiva

Sono state testate diverse maglie proporzionali (quadrati 1×1, rettangoli 3:2, 2:1, 1:φ e 4:3) mediante ricostruzione tridimensionale in CAD e successiva restituzione prospettica sul foglio degli Uffizi.[2] La griglia a quadrati dilata le arcate, mentre le maglie 3:2, 1:φ e 2:1 le comprimono; solo la maglia 4:3 restituisce simultaneamente la corretta luce delle arcate, senza introdurre deformazioni percettibili.

.[10]

Procedimento inverso: Come controprova, si impone la condizione che gli archi debbano essere a tutto sesto. L’unica griglia che, con questo vincolo, produce un’altezza dell’imposta coincidente con quella del disegno è, ancora una volta, la 4:3.

Conclusioni

Questa scoperta conferma tre aspetti della mente dell’artista:

• Rigore metodologico: Conferma che Leonardo, anche in un disegno preparatorio, utilizzava un sistema prospettico e modulare sofisticatissimo, basato su unità di misura reali (il braccio fiorentino) e proporzioni armoniche (4:3).
• Sintesi culturale: Leonardo non applica meccanicamente le regole della prospettiva. Le fonde con la tradizione architettonica e la teorica fiorentina dell’epoca (gli archi a tutto sesto di Brunelleschi, le raccomandazioni di Alberti) e con la ricerca sulle proporzioni matematiche (il rapporto 4:3, il triangolo di 36°).
• Un “progetto” eseguibile: L’uso di una griglia modulare e di una scala con proporzioni auree suggerisce che Leonardo stesse progettando un’architettura realizzabile, non uno sfondo puramente fantastico. La griglia 4:3 funge da “piano regolatore” per l’intera scena.

In sintesi, questa ricerca ci mostra un Leonardo scienziato, ingegnere e matematico già in quest’opera giovanile, che costruisce spazi articolati e complessi partendo da regole semplici, precise ed eleganti.

Perché proprio 4:3? Leonardo non ci ha lasciato una spiegazione scritta, ma il contesto storico, matematico e pratico dell’epoca ci offre diverse risposte plausibili e intrecciate tra loro.

Ecco i tre “strati” principali che potrebbero spiegare questa scelta:

1️⃣ Il Contesto Pratico-Culturale: Il Braccio Fiorentino

La ragione più immediata e concreta è legata alla pratica costruttiva fiorentina.

• Un’Unità Reale: L’ipotesi supportata dalla ricerca è che il modulo base sia 1 braccio × 3/4 di braccio. Il braccio fiorentino (circa 58.36 cm) era l’unità di misura utilizzata dai capomastri, falegnami e architetti di Firenze per misurare pietre, travi e superfici.
• Progettare per il “Reale”: Usare questa griglia significava che le architetture nel disegno non erano mere astrazioni, ma edifici potenzialmente costruibili secondo le convenzioni dell’epoca. Leonardo, formatosi nella bottega del Verrocchio a contatto con artigiani, pensava come un “progettista”.

2️⃣ Il Contesto Teorico-Matematico: Un Rapporto Armonico

Il 4:3 non è una frazione casuale. Era considerato un rapporto armonico (o superparticolare), carico di significati nella scienza e nell’estetica del tempo.

• La Musica delle Sfere: Nella teoria pitagorica, che influenzava ancora il Rinascimento, l’intervallo musicale della quarta (ad esempio Do-Fa) era espresso dal rapporto 4:3. Era una proporzione considerata stabile, piacevole e consonante.
• Eredità Classica e Medievale: Il 4:3 era comune nelle proporzioni architettoniche (ad esempio, il rapporto tra altezza e larghezza di molte sale) e nella composizione pittorica. Leonardo, da acuto osservatore della natura, sapeva che certe proporzioni ricorrono e sono percepite come armoniose.

3️⃣ Il Contesto Grafico-Operativo: Una Scelta Funzionale per il Disegno

Infine, la scelta potrebbe essere dettata da un’esigenza di efficacia visiva e costruttiva nella composizione.

• Controllo della Profondità: Una griglia di rettangoli (4:3) offre un miglior controllo della compressione prospettica rispetto ai quadrati. I rettangoli si “assottigliano” in modo più marcato verso il punto di fuga, accentuando il senso di profondità in uno spazio ristretto come quello del dipinto, ed è stato anche un espediente da disegno tecnico, serrare le trasversali più delle longitudinali aiuta a controllare meglio le ellissi prospettiche degli archi (nel caso della luce degli archi, poter dividere in quattro partizioni (numero pari) una misura di tre braccia consente di trovare molto più facilmente il colmo delle arcate, situato esattamente a metà, cioè sulla verticale tra la seconda e terza partizione)
• Generare Complessità da Semplicità: Partendo da un modulo semplice (4:3) e combinando i triangoli aurei (36°) per le scale, Leonardo genera una complessità architettonica apparente da regole geometriche fondamentali. Un sistema semplice, ma combinatorio, che genera risultati ricchi ed articolati.

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Sintesi: Una Scelta “Ibrida” e Consapevole

In sintesi, Leonardo probabilmente non scelse il 4:3 per un’unica ragione, ma perché questa proporzione rappresentava il punto d’incontro perfetto tra diverse esigenze:

Ragione Pratica (Contesto)	Ragione Teorica (Conoscenza)	Ragione Operativa (Disegno)
Basarsi sull’unità di misura in uso (Braccio Fiorentino)	Applicare un rapporto armonico (4:3) della tradizione	Controllare la prospettiva e creare archi a tutto sesto corretti

In altre parole, il 4:3 era la scelta che gli permetteva di essere al contempo:

1. Realistico (rispetto alle convenzioni costruttive),
2. Armonioso (rispetto alla teoria delle proporzioni),
3. Preciso (per la corretta resa prospettica delle architetture).

Fu una sintesi tipicamente leonardesca di empiria, teoria e pratica artistica, applicata per risolvere un problema di progettazione spaziale in modo rigoroso ed elegante.

Questa analisi modifica e definisce la nostra percezione del disegno. Passa dall’essere uno “schizzo preparatorio” a un vero e proprio “progetto architettonico realizzabile” in prospettiva (e non semplicemente scenografico e/o funzionale al dipinto ) , concepito secondo le teorie più avanzate dell’epoca, , che rivela la mente interdisciplinare del suo autore già in una fase giovanile.

Riguardo alla citata e recente letteratura sull’argomento, questo articolo può essere considerato come una controreplica costruttiva e argomentata allo studio del 2022 e vuole offrire una soluzione alternativa ai problemi sollevati in quel contesto.

🔍 Confronto tra i due approcci

Ecco come i due studi si pongono in contrasto costruttivo su punti fondamentali:

1. Premessa di base: “Errore” vs. “Sistema Diverso”

• Studio 2022 (Apollonio & Foschi): Parte dal presupposto che la prospettiva di Leonardo presenti “aberrazioni” e “errori formali” rispetto alle regole albertiane rigorose. Lo interpreta come un metodo “pratico” e non rigoroso.
• Questo articolo rigetta questa visione. Propone che Leonardo non abbia approssimato il sistema albertiano, ma stia applicando un sistema geometrico personalizzato, diverso, raffinato e e coerente (griglia 4:3 basata sul braccio fiorentino). La deformazione delle arcate che nello studio del 2022 appare una grossolana approssimazione del metodo albertiano, diventa la chiave interpretativa di un diverso schema sottostante.

2. Metodo di Ricostruzione

• Studio 2022: Utilizza un’analisi grafica e una ricostruzione 3D inversa partendo da una griglia di quadrati come presupposto, trovando poi delle discrepanze tra restituzione e disegno reale.
• Questo articolo: Sostiene che il presupposto (la griglia di quadrati dell’articolo 2022) sia errata. Dimostra, sempre con ricostruzione 3D inversa, che solo adottando la griglia rettangolare 4:3 tutti gli elementi (soprattutto gli archi a tutto sesto) si allineano con il disegno.

3. Visione dell’Opera di Leonardo

• Studio 2022: Suggerisce che Leonardo possa aver approssimato o reinventato le regole per esigenze pratiche o compositive.
• Questo articolo: Rafforza l’immagine di un Leonardo estremamente rigoroso, sistematico e ingegneristico, che progetta un’architettura costruibile usando unità di misura reali e proporzioni armoniche, e che sia perfettamente in grado di controllare la “scienza della prospettiva”, addirittura personalizzando e raffinando il metodo albertiano.

La griglia 4:3 offre quindi una spiegazione alternativa che risolve le “anomalie” segnalate da Apollonio e Foschi, facendole scomparire semplicemente cambiando l’ipotesi di partenza sulla interpretazione della griglia prospettica, trasformando un presunto “problema” o “errore” in una prova della coerenza e della precisione del metodo leonardesco.

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## English version

Abstract: Leonardo’s CAD – The Revealed Geometry
Title: Beyond the Square: The 4:3 Grid and Architectural Perfection in the Adoration of the Magi.
Abstract:
This study presents a methodological shift in the analysis of Leonardo da Vinci’s preparatory drawing for the Adoration of the Magi. Moving beyond the traditional assumption of a square-based perspective grid, the author utilizes CAD software and reverse-engineering techniques to demonstrate Leonardo’s use of a rectangular grid with a 4:3 harmonic ratio. This discovery resolves long-standing visual inconsistencies, showing that the arches in the background regain their perfect semicircular form when aligned with this modularity, consistent with the “Florentine arm” unit of measurement. Furthermore, the analysis reveals the deliberate application of decagonal geometry and the Golden Ratio. This research vindicates Leonardo’s mathematical rigor, proving that what was previously perceived as a perspectival error is, in fact, a sophisticated architecture of vision.

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Over the last few decades Leonardo da Vinci’s *Adoration of the Magi* and the well‑known preparatory drawing in the Uffizi have been the subject of increasingly refined perspective analyses and digital reconstructions, which have helped clarify the spatial structure of the complex architectural background.[1][2] In many of these studies, the grid traced by Leonardo on the floor is interpreted as a regular lattice of squares, projected according to the rules of Albertian central perspective and taken as the basis for three‑dimensional modelling of the ruins and staircases.[1]

However, adopting a square grid as an interpretation of Leonardo’s reticulation and back‑projecting the sheet into a three‑dimensional CAD space produces a markedly distorted reconstruction of the arches between the staircases. In our view this result is incompatible with Leonardo’s mathematical, artistic and architectural vision, at a time when he was still young and strongly influenced by the Florentine milieu of the later fifteenth century.[2][3]

The present work belongs to this line of research but proposes a different reading of the grid underlying the Uffizi sheet. Starting from a geometric analysis of the two‑dimensional elements parallel to the picture plane of the drawing and from a subsequent verification through a perspective reconstruction of the 3D architecture in CAD superimposed on the sheet, it is argued here that Leonardo’s spatial scheme is not based on a chessboard of squares, but rather on a mesh of rectangles modularly related to the Florentine *braccio*, with a harmonic ratio of 4:3 between the long and the short side.[4][5][6]

### The Florentine *braccio* and the 4:3 ratio (hypothesis “x”)

Taking the Florentine *braccio*, equal to 58.36 cm and in common use in Florence at the end of the fifteenth century, as the unit of measurement, each module of the grid measures 58.36 × 43.77 cm. The longitudinal vanishing lines are spaced one *braccio* apart, while the transverse ones are spaced three‑quarters of a *braccio* apart.[7][8][9] The “a priori” choice of the Florentine *braccio* as the unit of the perspective grid is supported by historical reasons and by the coherent scale of the architectural elements, human figures and animals represented in the drawing; at the same time, it remains a preliminary assumption: in the absence of explicit indications by Leonardo for this sheet, it fixes the absolute scale of the reconstruction without altering the proportional relationships between the elements.[7][6]

The identification of the harmonic 4:3 ratio between the sides of the rectangles composing the perspective grid (hypothesis x) is the result of an a posteriori verification. The inverse reconstructions of the 3D space were compared under different assumptions for the ratio between the short and long sides of the modules, namely 3:2 (hypothesis y), 2:1 (hypothesis w), 1:φ (hypothesis z) and 4:3 (hypothesis x).[2] As will be shown below, only the 4:3 grid yields arches that are perspectively correct and free of obvious distortions, whereas the square grid tends to dilate the arches and the 3:2, 1:φ and 2:1 grids tend to compress them, proving less compatible with the Uffizi drawing when the corresponding 3D reconstructions are brought back into perspective and overlaid on the sheet.

### The generating triangle of the staircase

On this grid, clearly set by Leonardo on the floor plane supporting the staircases (the CAD xy‑plane), a right‑angled triangle generating the nearer staircase is erected perpendicularly. This triangle lies on a plane parallel to the picture plane (the CAD xz‑plane) and is therefore not subject to perspective deformation, making it easily measurable according to the rules of plane geometry.[10]

For the foreground staircase, the drawing allows two possible generating right triangles to be identified, similar but distinct, sharing the same acute base angle:

– **hypothesis “a”**: visible staircase of 15 steps, with the longer cathetus measuring 7 *braccia*; 
– **hypothesis “b”**: “complete” staircase of 16 steps, with the longer cathetus measuring 7.5 *braccia*.

From the graphic analysis of the Uffizi sheet, both hypotheses must initially be regarded as admissible to the same extent, owing to the thickness of Leonardo’s strokes, which introduces an inevitable margin of approximation and interpretation with respect to the “ideal” measurements yielded by CAD.

The common acute angle at the base of Leonardo’s triangles measures effectively about 36°, with only minimal uncertainty due to line thickness. This value is not incidental: the 36° angle is one of the fundamental angles of golden‑ratio geometry, characteristic of golden triangles and the regular pentagon, in which the ratio between the equal sides and the base is precisely the golden section.[11][12][13][14][15] The staircase therefore appears to be constructed by a simple straightedge‑and‑compass procedure: once the base is fixed, a 36° angle determines a right triangle in which the ratio between the oblique development (the hypotenuse) and the horizontal projection (the longer cathetus) is of golden type.[13][16]

Estrazione dei vincoli: Dal disegno 2D degli Uffizi, si estraggono misure “assolute” (non soggette a deformazione prospettica), in particolare l’altezza del colmo (punto più alto) delle arcate.

Modellazione ipotetica: Si creano diversi modelli 3D delle architettature, ciascuno basato su un’ipotesi di griglia (quadrati, 4:3, 3:2, etc.).

Proiezione e sovrapposizione: Ogni modello 3D viene riproiettato in un’immagine in prospettiva centrale, usando lo stesso punto di fuga di Leonardo.

Confronto critico: L’immagine generata dal CAD viene sovrapposta al disegno originale. La coincidenza (o meno) degli elementi chiave—soprattutto la curvatura degli archi e l’altezza delle loro imposte—determina quale ipotesi di griglia è corretta.

This construction, derived from pentagonal geometry, is fully consistent with the principles that will later be formalized by Luca Pacioli in the *Divina Proportione* (1509) and with Leonardo’s graphic practice, as documented by his studies on the pentagon, dodecahedron and regular solids in his notebooks and geometric sheets.[17][18][19]

In summary:

– the use of the triangle with a 36° angle does not need to be demonstrated: it is directly read from the Uffizi drawing by measuring the common angle of the generating triangles of the staircase once the sheet has been rectified, and it is historically supported by Leonardo’s own geometric studies; 
– the actual “demonstration” concerns the 4:3 grid, which is obtained a posteriori by exclusion, comparing the 3D reconstructions produced with the various grids, brought back into central perspective, and checking which ones yield arches congruent with those of the Uffizi sheet.[2]

### Measurement of the staircase, hypothesis “a”, combination “ax” (15 steps, 4:3 grid)

In hypothesis “a”, the horizontal base of the visible staircase (15 steps) is assumed to correspond to seven modules, for a total length of about 408.52 cm. The calculated height of the landing at the fifteenth step, corresponding to the length of the short side of the triangle, is about 296.81 cm, divided into fifteen risers of 19.79 cm and fifteen treads of 27.23 cm.

In the preparatory drawing the generating triangle is clearly legible not only in the foreground staircase, but also in the symmetric staircase in the background, which repeats the same geometric construction within the same modular grid.

The width of the staircase equals four short sides of the grid rectangles and, in hypothesis “x”, 4 × 3/4 of a *braccio*, i.e. 3 *braccia*, or 175.08 cm. The plan projection of the staircase in combination “ax” thus forms a rectangle of 7 × 3 *braccia* (408.52 × 175.08 cm), with a dimensional ratio of 7:3.

### Measurement of the staircase, hypothesis “b”, combination “bx” (16 steps, 4:3 grid)

In hypothesis “b”, the horizontal base of the complete staircase (16 steps) is taken to correspond to seven and a half modules, for a total length of about 437.70 cm. The calculated height of the landing at the sixteenth step, corresponding to the length of the short side of the triangle, is about 318.01 cm, divided into sixteen risers of 19.88 cm and sixteen treads of 27.36 cm.

The width of the staircase, as in hypothesis “a”, is equal to 3 *braccia* (175.08 cm). The plan projection of the staircase in combination “bx” therefore forms a rectangle of 7.5 × 3 *braccia* (437.70 × 175.08 cm), with a dimensional ratio of 5:2.

The further combinations with the other module hypotheses (3:2, 1:φ, 2:1) and the table of the corresponding tread, riser, width and total‑height values make it possible to evaluate systematically the geometric and perspectival consistency of the different grids, showing that the 4:3 solution is the one that best agrees with Leonardo’s drawing without introducing perceptible distortions in the arches.

### Arches, pillars and the solid/void ratio

The arches, seen in frontal elevation, are constructed as semicircles of radius 87.54 cm (2 × 3/4 of a *braccio*) inscribed in squares of side 175.08 cm (4 × 3/4 of a *braccio*); the diameter of the semicircle coincides with the side of the square. The pillars between one arch and the next are 1 module (43.77 cm) wide and their springing height is also 4 modules (175.08 cm), equal to the span of the arch; this measure, crucial for identifying the 4:3 ratio, is derived directly from the Uffizi drawing by transferring, with the compass rotated by 90°, the impost level of the foreground arch onto the corresponding horizontal line of the underlying grid, yielding 3 *braccia*, i.e. 4 modules of 3/4 *braccio*.

Any other assumption regarding the proportional ratio between the sides of the grid rectangles fails to produce full semicircular arches: with the square grid the span of the arch exceeds the impost height and the result is a depressed arch, whereas with the 3:2, 1:φ and 2:1 grids the arches become progressively raised and compressed, at odds with Leonardo’s drawing when the CAD reconstructions are brought back into perspective.

Between the two staircases, the sequence pillar (1 module) – arch (4 modules) is repeated three times and closed by a final pillar, for a total of 16 modules = 12 *braccia*; locally the solid/void ratio is therefore 1:4. The two staircases and the four arches share the same width of four transverse modules; in depth, starting from the foreground, the sequence is: ruined arch, pillar, staircase, pillar, arch, pillar, arch, pillar, arch, pillar, staircase, pillar, etc., thus maintaining the 1:4 rhythm even when the staircases are inserted into the arch system.

*(Interpretative note: this consideration does not affect the metric reconstruction, but may be helpful for the iconographic interpretation of the drawing and the painting. Compared with the “ancient” arcades of the ruined portico, whose 4:1 rhythm is clearly defined, the “modern” staircases—intact and geometrically crystalline—that are inserted into the architecture following the same rhythm without altering the sequence seem to allude to building‑site structures dedicated to the reconstruction of the temple, in line with the humanistic spirit of the age, which sought to recover the classical heritage and place it at the service of the Church.)[20][21][22]*

### Grid exclusion test and overall consistency

Different proportional grids (squares 1×1, rectangles 3:2, 2:1, 1:φ and 4:3) were tested by means of 3D CAD reconstruction and subsequent perspective restitution onto the Uffizi sheet.[2] The square grid dilates the arches, while the 3:2, 1:φ and 2:1 grids compress them; only the 4:3 grid simultaneously reproduces the correct span of the arches, the spacing of the pillars and the slope of the staircases, without introducing perceptible distortions.

The height of the foreground pillar, when transferred with the compass onto the floor grid, is equal to 3 *braccia* (4 modules), confirming the coherence between vertical height, arch span and modular step. The result is a unified system in which the 4:3 grid, the 36° triangle and the arches constructed as square plus semicircle together form a rigorous geometric framework, based on simple, clear ratios and fully compatible with the geometric, architectural, perspectival and proportional culture of the young Leonardo.[10]

Citazioni:
[1] [PDF] Three Points of View for the Drawing Adoration of the Magi … – Unibo https://cris.unibo.it/retrieve/e1dcb338-c06f-7715-e053-1705fe0a6cc9/heritage-04-00123-v2_compressed.pdf
[2] Download this PDF file http://www.sciresit.it/article/download/13706/12029
[3] IMSS – . Scientific Analysis of the Adoration of the Magi https://brunelleschi.imss.fi.it/menteleonardo/emdl.asp?c=13419&k=1470&rif=14071&xsl=1
[4] Braccia | The Michelangelo Experience https://www.michelangeloexperience.com/2010/12/braccia/
[5] The Trattato dell’Abbaco and Andrea Pisano’s Design for … https://www.cambridge.org/core/journals/renaissance-quarterly/article/trattato-dellabbaco-and-andrea-pisanos-design-for-the-florentine-baptistery-door/50D6FA88D608DA5BC13607B9F27528A7
[6] Ten Principles for the Study of Proportional Systems in … https://journal.eahn.org/article/id/7466/
[7] Florentine curiosities: traces of ancient units of measurement https://arteleonardo.com/de/blog/268/florentine-curiosities-traces-of-ancient-units-of-measurement
[8] A Florentine Arm’s Length – Victoria Jayne Hayward https://www.victoria-jayne-hayward.com/2021-21-3-length/
[9] The florentine arm » Florence self-guided audio tour app » https://voicemap.me/tour/florence/monumental-moments-in-history-a-florence-walking-tour/sites/the-florentine-arm
[10] squadra1.jpg https://ppl-ai-file-upload.s3.amazonaws.com/web/direct-files/attachments/images/46142614/e10eaec5-68f9-4297-b045-e8d96883d516/squadra1.jpg
[11] Golden triangle (mathematics) https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_triangle_(mathematics)
[12] Golden ratio – Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio
[13] Geometry and the Golden section – Dr Ron Knott https://r-knott.surrey.ac.uk/fibonacci/phi2DGeomTrig.html
[14] Golden Ratio in Regular Pentagon https://www.cut-the-knot.org/do_you_know/GoldenRatioInRegularPentagon.shtml
[15] Golden Gnomon — from Wolfram MathWorld https://mathworld.wolfram.com/GoldenGnomon.html
[16] Golden Triangle – Geometry Calculator https://rechneronline.de/pi/golden-triangle.php
[17] Divina proportione https://en.wikipedia.org/wiki/Divina_proportione
[18] Divina proportione – Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/De_divina_proportione
[19] De divina proportione – Veneranda Biblioteca Ambrosiana https://ambrosiana.it/en/opere/de-divina-proportione/
[20] Adoration of the Magi by Leonardo da Vinci – Gallerie degli Uffizi https://www.uffizi.it/en/artworks/leonardo-adoration-of-the-magi
[21] Adoration of the Magi by Leonardo: analysis and meaning – BeCulture https://www.beculture.it/en/leonardo-adoration-of-the-magi-analysis/
[22] Leonardo da Vinci Adoration like you’ve never seen it before – ArtTrav https://www.arttrav.com/florence/leonardo-da-vinci-adoration/
[23] Perspective Studies on the Adoration of the… | Apollonio http://www.sciresit.it/article/view/13706
[24] Three Points of View for the Drawing Adoration of the Magi by … https://cris.unibo.it/handle/11585/831953
[25] Three Points of View for the Drawing Adoration of the Magi … https://www.semanticscholar.org/paper/Three-Points-of-View-for-the-Drawing-Adoration-of-Apollonio-Foschi/d64a032a966b10ccdc4a345a0c5bb49f3e6dd46f
[26] Pentagon, golden ratio, and angles of 18, 36, 54, and 72 … https://www.youtube.com/watch?v=Eg_iKw9O0eA
[27] drawingidee immagini ideas images https://cris.unibo.it/retrieve/e1dcb335-ae4b-7715-e053-1705fe0a6cc9/3964-5%20Disegnare%2060%20-%20Estratto%20Apollonio,%20Gaiani_ok.pdf
[28] (PDF) Proceedings of the first ArCo Conference https://www.academia.edu/84998721/Proceedings_of_the_first_ArCo_Conference
[29] 3D Recording, Documentation and Management of … https://www.scribd.com/document/608110363/3D-Recording-Documentation-and-Management-of-Cultural-Heritage-Remondino-Stylianidis-Eds-2016
[30] Colour and Colorimetry Multidisciplinary Contributions https://www.gruppodelcolore.org/wp-content/uploads/2019/08/ColourAndColorimetry_MultidisciplinaryContribution13B_pro.pdf